|
Уравнение (4) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний, линейное, второй степени, неоднородное (с правой частью). Исследуем его. Как известно из теории дифференциальных уравнений, решением уравнения (4) является сумма двух решений: общего решения однородного уравнения соответствующего данному неоднородному и частного решение неоднородного уравнения в целом.
Однородное уравнение соответствующее данному неоднородному есть уравнение затухающих колебаний
1.
2.
3.
4. :
a. | 
| (5) |
Решением этого уравнения является функция: |  , где  .
|
(6) |
Частное решение неоднородного уравнения в целом будем искать следующим образом. Как показывает практика, не зависимо от начальных условий осциллятора через достаточно большой промежуток времени (время разгорания/релаксации) в системе установятся гармонические колебания с частотой вынуждающей силы  и амплитудой  , зависящей от частоты . | Различные случаи установления гармонических колебаний: | | 
| 
| | Рис. 3
Случай разгорания для  | Рис. 4
Произвольный случай разгорания |
Здесь  – это время разгорания колебаний.
Это значит, что через достаточно большой промежуток времени первым слагаемым можно пренебречь. Действительно в (6) при  , . Таким образом |  ,
| (7) |
где - амплитуда установившихся колебаний с частотой  - частотой внешней вынуждающей силы,  - сдвиг фаз между смещением и фазой внешней силы.
Найдем, чему равны и при частоте внешней силы . Для этого найдем 1-ю и 2-ю производные от (7): | 
|
(8) | | 
|
(9) |
И подставим (7), (8), (9) в (4):
 ,
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 |
