Молекулы газа взаимодействуют по достаточно сложным законам. Это особенно касается реальных многоатомных газов. Сделанные допущения относительно характера поведения молекул газа позволяют упростить рассуждения (или даже сделать их в принципе возможными), но несколько удаляют нас от реальности. Сложные законы взаимодействия молекул, определяющие функцию в интеграле столкновений, не позволяют даже записать уравнение Больцмана для конкретных газов в точном виде. Даже при упрощении характера молекулярного взаимодействия математическая структура кинетического уравнения остаётся достаточно сложной, и нахождение его решения в аналитическом виде затруднительно. В кинетической теории газов применяют особые, более эффективные, чем попытка аналитического решения, методы приближенного решения уравнения Больцмана. В качестве примера рассмотрим одноатомный газ и задачу о теплопроводности.

Для одноатомного газа теплоёмкость . Положив уравнению ( ) придадим вид

Линейный интегральный оператор, соответствующий интегралу столкновений ( ) ,определяется формулой

а равновесная функция распределения примет вид .

Эффективный метод приближённого решения уравнения ( ) основан на разложении искомых функций по полной системе взаимно ортогональных функций. В качестве таких функций рассмотрим полиномы Сонина, определяемые формклами :

В этой формуле r – произвольное, а s – целое положительное число либо нуль. В честноти

Свойство ортогональности этих полиномов при заданном индексе r и различных индексах s выаглядит следующим образом

Решение уравнения ищем в виде следующего разложения

Опустив в разложении член с s=0 , получим выражение адовлетворяющее () (нтеграл обнуляется в силу ортогональности полиномов с различными s ). Выражение в скобках в левой стороне ()

есть . Уравнение () принимает вид