К числу александрийских ученых относятся алгебраист Диофант, живший, вероятно, в III в. Жил он 84 года. Последнее сведение почерпнуто из эпиграммы не кое го Метродора, помещенной в так называемой «Греческой антологии». Со­держание эпиграммы таково:

«Диофант прожил 1/6 своей жизни в детстве, 1/12 в юности, следующую за­тем 1/7 часть своей жизни был холостяком; через 6 лет после женитьбы у него ро­дился сын, который умер на 4 года ранее своего отца и дожил до возраста, вдвое меньшего, чем лета его отца».

Диофант написал сочинение, названное им «Арифметика». Это сочинение резко отличается по своему характеру от известных нам других математических работ древних греков. Главное отличие заключается в том, что изложение его идет чисто аналитическим путем, хотя и вводится иногда геометрическая терминоло­гия. «Арифметика» Диофанта включает в себя главным образом вопросы алгебры и теории чисел. Надо отметить, что Диофант не излагает обобщенных методов для решения тех или иных вопросов, а к решению каждого отдельного вопроса подхо­дит с особым методом. Это выявляет огромные математические способности Диофанта, но сильно снижает научную ценность его труда- Из 13 книг «Арифме­тики» до нашего времени сохранилось только 6. В них Диофант рассматривает решение уравнений 1-й и 2-й степени, причем ос­новное внимание обращает на не­определенные уравнения.

Алгебра Диофанта должна быть отнесена к так называемому периоду «син­копированной алгебры», то есть к тому времени, ко­гда в алгебр переходили от чисто риторического изложения (то есть словесного) к использованию более крат­ких записей при помощи сокращенных слов и некоторых символов. Так, для изо­бражения неизвестного числа Диофант вводит обозначение S', а когда это неиз­вестное употребляется во множественном числе, то упомяну­тое обозначение уд­ваивается. Для каждой степени неизвестного вводились соответствующие синко­пированные обозначения. Для обозначения вычитания употребляется знак, а для ра­вен­ства — буква I. Уменьшаемое писалось раньше вычитаемого, а чи­сло­вые коэффициенты — после неизвестных. Непосредственное следование одной записи за другой означало действие сложения.

Отрицательные числа Диофанту известны не были, но когда приходилось ум­ножать разность двух чисел на разность двух других чисел, то Диофант пользо­вался, правилом: «отнимаемое число, будучи умножено на отнимаемое, дает при­бавляемое, а, будучи умножено на прибавляемое, дает отнимаемое».

При решении уравнений Диофант признавал только положительные ра­цио­нальные ответы, и притом для квадратного уравнения он всегда вычислял только один ответ, если уравнение

имело два рациональных и положитель­ных корня. Ка­ким методом он решал квадратные уравнения, неизвестно, так как в сохранив­шихся до нашего времени книгах этого объяснения не дано. Для решения уравне­ния 1-й степени Диофант прибегал к приемам, описанным им следующим обра­зом: «Если теперь в какой-нибудь задаче те же степени неизвестного встречаются в обеих частях уравнения, но с разными коэффициентами, то мы должны вычитать равные из равных, пока не получим одного члена, равного одному числу. Если в одной или в обеих частях есть члены вычитаемые, то эти члены должны быть прибавлены к обеим частям так, чтобы в обеих частях были только прибавляемые. Затем снова нужно отнимать равные от равных, пока не останется только по од­ному члену с каждой стороны». Таким путем Диофант достигал того, чего мы до­биваемся перенесением известных членов в одну сторону равенства, а неизвест­ных — в другую, приведением подобных членов и делением на коэффициент при неизвестном. При этом надо отметить, что Диофант, как и все древние матема­тики, избегал действия деления, заменяя его повторным вычитанием.