Уравнение Шрёдингера, как это требовалось с самого начала для выполнения принципа суперпозиции, линейно и однородно относительно функции Ψ. В точной математической форме принцип суперпозиции сводится к двум утверждениям.

Во-первых, если Ψ1 и Ψ2 — какие-либо два решения уравнения Шрёдингера, то и всякая линейная комбинация их α1Ψ1 + α2Ψ2 с постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами α1 и α2 есть также решение того же уравнения. Во-вторых, если волновые функции Ψ1 и Ψ2 описывают какие-либо два со­стояния системы, то и линейная комбинация α1Ψ1 + α2Ψ2 также описывает какое-то состояние той же системы. Конечно, состояние частицы определяется не самими коэффициентами α1 и α2, а только их отношением α1/α2 . Состояние не изменится, если оба коэффициента умножить на одну и ту же веществен­ную или комплексную постоянную. Это позволяет, например, функцию Ψ = α1Ψ1 + α2Ψ2 нормировать (если интеграл , взятый по всему пространству, сходится).

Особое значение в квантовой механике имеют стационар­ные состояния. Это – такие состояния, в которых все наблюдае­мые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция Ψ не относится к этим параметрам. Она принципиально не наблюдаема. Не должны меняться во времени только физически наблюдаемые величины, которые мо­гут быть образованы из Ψ по правилам квантовой механики.

Как следует из уравнения (9), вид волновой функ­ции Ψ определяется потенциальной энергией U, т. е., в конечном счете, характером тех сил, которые действуют на частицу. Вообще говоря, U есть функция координат и времени. Для стационарного (не меняющегося со време­нем) силового поля U не зависит явно от времени. В по­следнем случае волновая функция Ψ распадается на два множителя, один из которых зависит только от времени, второй – только от координат:

(10)

(Е — полная энергия частицы, (E/ħ) = ω ).

Учтём, что дифференциал (11)

Подстановка функции (10) в урав­нение (9) с учётом (11) дает:

Сокращая все члены этого уравнения на общий множи­тель e-i(E/ħ)t и произведя соответствующие преобразования, получим дифференциальное уравнение, определяющее функцию ψ:

(12)

Если функция U зависит от времени явно, то и решение последнего уравнения – функция ψ – будет зависеть от времени, что противоречит предположению (10).

Уравнение (12) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (или уравнением Шрёдингера без времени).

К уравнению Шрёдингера можно прийти и следующим путем сле­дующих рассуждений. Из опытов по дифракции микро­частиц вытекает, что параллельный пучок частиц обла­дает свойствами плоской волны, распространяющейся в направлении движения частиц. Уравнение плоской вол­ны, распространяющейся в направлении оси x, имеет, как известно, вид: