Вот здесь действует такая хитрая связь поведения векторного поля на поверхности и поведения его внутри объёма

Равенство получается как следствие теоремы Остроградского-Гаусса. Здесь справа стоит плотность заряда, значит, дивергенция напряжённости равна плотности заряда. Поляризация диэлектрика эквивалентна появлению заряда с плотностью . Это не очень очевидно. Если вектор поляризации постоянен, то никакой заряд в объёме не появляется. Вот, если вектор от точки к точке меняется, то это проявляется в том, что в данном элементе объёма появляется некий фиктивный заряд.

С учётом этого дела уравнение перепишется в таком виде , где – это плотность настоящих зарядов, а – плотность связанных зарядов, вот фиктивных зарядов, появляющихся в результате поляризации диэлектрика. Теперь мы это уравнение можем преобразовать. Умножим всё на и величину перенесём влево, мы получим такое уравнение: , где – это плотность настоящих зарядов, или . Вектор называется индукцией электрического поля, и для этой индукции мы получили вот такое замечательное уравнение: .

А от него мы теперь с помощью теоремы Гаусса вернёмся к интегральному уравнению: . Для однородных диэлектриков – линейная функция напряжённости поля (), вообще, для произвольного диэлектрика – это некоторая функция от напряжённости поля (). Пишем тогда , где коэффициент называется диэлектрическая восприимчивость. Значит, этот коэффициент характеризует склонность диэлектрика к поляризации. Возвращаясь к выражению для , мы получим для однородного диэлектрика: . Величина называется диэлектрическая проницаемость среды. Это безразмерная величина, большая единицы. Тогда связь между и :