,

где - единичный вектор нормали к сфере. Эта формула, одна единственная, добивает все задачи центральной симметрии. Проблема одна – найти заряд, который находится внутри данной сферы, ну, это не очень тяжёлая проблема.

Можем немножко продолжить это дело. Вследствие того, что на любой сфере , интеграл по объёму можно свести, в принципе, к однократному интегралу, интегрируя по шаровым слоям, ну, напишу тут без подробных комментариев . Вот это объём шарового слоя радиуса толщиной . Почему я тут штрихи поставил, понятно. стоит в верхнем пределе интеграла, ну тогда, чтоб не путать переменную интегрирования с верхним пределом, там я вместо пишу . Значит, если вот эта функция предъявлена, то такой интеграл вычисляется. Так, всё, с центральной симметрией конец. Второй случай.

2) Цилиндрическая симметрия.

Вводим цилиндрические координаты , переходит в . Вот у нас в цилиндрических координатах плотность есть только функция от , то есть не зависит от и не зависит от . Это означает, что имеется бесконечный цилиндр, и на поверхности цилиндра любого радиуса плотность заряда постоянна, и всё это дело продолжается до бесконечности по , вот такая ситуация. Сразу, конечно ясно, что физически это не реализуется, но в качестве некоторой идеализации это разумно. Напишем снова , значит, эквипотенциальные поверхности – это цилиндры с осью, совпадающей с осью симметрии, то есть с осью . А силовые линии лежат в плоскостях ортогональных оси . Так. В качестве замкнутой поверхности выбираем цилиндрическую поверхность радиуса и высотой , цилиндрическая поверхность, закрытая двумя крышками для того, чтобы она была замкнутой. Нормаль всегда берётся наружу. Из соображений симметрии ясно (напряжённость поля в любой точке цилиндрической поверхности направлена вдоль вектора , а величина зависит только от расстояния до оси симметрии). Поскольку у нас поверхность теперь задана в виде нескольких кусков, интеграл представится как сумма интегралов по этим кускам: .

Интеграл по крышкам равен нулю, потому что вектор скользит по крышкам, скалярное произведение с нормалью – ноль. .

Внутренняя начинка этого цилиндра , это интеграл по . , где - это заряд на единицу длины цилиндра радиуса , то есть это заряд лепёшки радиуса единичной толщины. Отсюда мы получаем результат: